ゲーム数学演習（等加速度・重力・摩擦）

出題範囲：等加速度運動 / 重力 / 摩擦 全10問（60分想定） ゲーム内の座標・速度・加速度として扱うバージョン

キャラクターの x 方向速度が次の条件で変化する。

• 初期速度：$v = 3\ \mathrm{m/s}$
• 加速度：$a = 2\ \mathrm{m/s^2}$

使用式： $$ v(t) = v_0 + a t $$

5 秒後の速度 $v$ を求めよ。

キャラクターの x 座標を物理式で更新する。

• 初期位置：$x = 0\ \mathrm{m}$
• 初期速度：$v = 3\ \mathrm{m/s}$
• 加速度：$a = 2\ \mathrm{m/s^2}$

使用式： $$ x(t) = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2} a t^2 $$

5 秒後の x 座標を求めよ。

高さ $y = 20\ \mathrm{m}$ から物体を静かに落下させる。 重力加速度 $g = 9.8\ \mathrm{m/s^2}$ とする。

落下の式： $$ y(t) = y_0 - \frac{1}{2} g t^2 $$

着地条件： $$ y(t) = 0 $$

この条件を満たす時間 $t$ を求めよ。

初期鉛直速度が 0 の物体を 2 秒落下させる。

使用式： $$ v(t) = - g t $$

2 秒後の鉛直速度を求めよ。

質量 $m = 3\ \mathrm{kg}$ の箱に右向きに $10\ \mathrm{N}$ の力を加える。 静止摩擦係数 $\mu_s = 0.5$、重力加速度 $g = 9.8$ とする。

法線力： $$ N = m g $$

最大静止摩擦力： $$ F_{s,\max} = \mu_s N $$

(1) 最大静止摩擦力を求めよ。 (2) 箱が動くかどうかを判定せよ。

動摩擦係数 $\mu_k = 0.3$ の床上で箱が滑っている。 右向きに $10\ \mathrm{N}$ の力を加え続ける。

動摩擦力： $$ F_k = \mu_k N $$

加速度： $$ a = \frac{F - F_k}{m} $$

箱の x 方向加速度を求めよ。

摩擦を速度減衰として以下のように扱う。

v = v * (1 - μ)

初速度 $v_0 = 10$、摩擦係数 $\mu = 0.1$ のとき、 3 フレーム後の速度を求めよ。

初速度 $v_0 = 8\ \mathrm{m/s}$ のキャラクターが、 動摩擦係数 $\mu_k = 0.4$ の床で滑る。

摩擦による一定減速度： $$ a = - \mu_k g $$

停止距離： $$ x = \frac{v_0^2}{2 \mu_k g} $$

停止までに進む距離を求めよ。

初期上向き速度 $v_{y0} = 6\ \mathrm{m/s}$ 重力加速度 $g = 9.8$

最高到達点は $v = 0$ となる瞬間。

高さ： $$ h = \frac{v_{y0}^2}{2 g} $$

最高 y 座標を求めよ。

物体の座標を以下の式で更新する。

v = v + a * dt
x = x + v * dt

初期速度 $v_0 = 0$ 加速度 $a = 4$ 時間刻み $dt = 0.016$（60FPS）

(1) 5 フレーム後の速度 (2) 5 フレーム後の座標 (3) この方法が連続時間と誤差が出る理由（離散近似のため）