ベクトルに関するあれやこれや

* 単なる数字で表せるもの

• スカラー量
• ⼤きさと⽅向をあわせもつもの
• ベクトル量
• ベクトルをさらに⼀般化した⾏列のようなもの
• テンソル（ベクトルや行列も広義でテンソルと呼ばれます）

ある点から、ある点をつなぐ矢印
方向と長さを持っている。
（実は位置は関係ない（じゃ、座標系に書くなよ。。。って思うじゃん？））

ベクトルは、位置と位置の関係から導き出されるが、ベクトルとして定義された後はその置かれている位置は関係ない。
方向と長ささえ合っていれば、平行移動しても同じベクトルとして扱われる。
なので、ベクトルとして定義後の正しいベクトルのイメージ図は以下のようになると思った方が精神衛生上よい。

ベクトルを生成するためには座標形状のもとの座標の関係が必要であるが、ベクトルになった後は、どこにあっても同じベクトルである。
つまり、方向と長さが同じであれば同じベクトルである。 以下の図のベクトルはすべて同一のベクトルである。

これらのベクトルが同じものであることは、ベクトルを成分で表してみるとよくわかる。
座標形状の点、$p_{1}, p_{2},p_{3},p_{4}$に対し、$ \overrightarrow{p_{1}p_{2}} $ と $ \overrightarrow{p_{3}p_{4}} $　を考える

$p_{1}(3, 6), p_{2}(9, 3),p_{3}(5, 11),p_{4}(11, 8)$ であるから

$ \overrightarrow{p_{1}p_{2}} = p_{2} - p_{1} = (9, 3) - (3, 6) = (9-3, 3-6) = (6, -3)$

$ \overrightarrow{p_{3}p_{4}} = p_{4} - p_{3} = (11, 8) - (5, 11) = (11-5, 8-11) = (6, -3)$

すなわち $ \overrightarrow{p_{1}p_{2}} =\overrightarrow{p_{3}p_{4}}$ である（長さと方向だけ考えれば、そりゃそうだよね。。。）。

ベクトルは、その場面場面によっていくつかの流派の表記法が存在する。

• 始点と終点を書いて上に矢印を添えるスタイル
  
  • ある$点P$から$点Q$へのベクトル（始点が$P$で終点が$Q$のベクトル） ⇒ $ \overrightarrow{PQ} $　
    
• ベクトルに名前を付けてその上に矢印を添えるスタイル
  
  • あるベクトル$v$ ⇒ $ \vec{v} $
    
• 太字でごまかすスタイル
  
  • ベクトルa ⇒ ベクトル $ \boldsymbol{a} $ 　
    
• ベクトルの長さ
  
  • ベクトル$ \vec{v}$の長さを | を使って、$ |\vec{v}| $と表す。
  • または、 $\|$ を使って、$ \| \vec{v} \| $と表す。
  • 

• 零ベクトル
  • スカラで言うところの零を表すもの
  • 長さが０で方向がないベクトル 2次元だと(0, 0)かな？
  • 太字の$0$で表す ⇒ $ \vec{\boldsymbol{0}} $
  • $0$とゼロベクトル（零ベクトル$ \vec{\boldsymbol{0}} $）は別物なので注意！
  • 始点と終点が一致していると零ベクトル　$ \overrightarrow{AA} = \vec{\boldsymbol{0}} $
• 逆ベクトル
  • 注目しているベクトルと長さが同じで向きが逆のベクトル
  • $\vec{v}$の逆ベクトルを$-\vec{v}$で表す。　すなわち、$ \vec{v} + (-\vec{v}) = \boldsymbol{0}$
  • 元のベクトルと逆ベクトルを足すと0ベクトルになる
  • 
• 単位ベクトル
  • 長さが1のベクトル、方向はどこ向いていてもいいよ
  • 単位ベクトルと、ベクトルの正規化したものはちょっと意味合いが違うよ
  • 表記は$ \boldsymbol{\mathrm{e}} $ を用いる
  • $ \boldsymbol{\mathrm{e}} = ( 1, 0 ) $ など、大きさが1であれば無限にあるよ
  • 
• 基本ベクトル
  • 座標系の各軸の正方向の単位ベクトル
  • $xy$平面上の座標系（デカルト座標系）の基本ベクトルは$x$軸方向$(1,0)$, $y$軸方向$(0, 1)$となる。
• 位置ベクトル
  • 原点を始点とするベクトル
  • 必ず原点から、ある座標へ伸びているので、位置を表すことができる
  • 
• 方向ベクトル
  • 座標系内の直線の方向を表すベクトル、直線の向きなので＋とーと2種類出てくるよ
  • 
• 法線ベクトル
  • ある直線や平面に対して、垂直なベクトル、これも＋とーと2種類出るよ