関数$ f(x) = {x}^{3}+a{x}^{2}+a{x}+5 $が極値を持つ定数$ a $の範囲を求める。

• 極値
  • 関数の値のグラフが上に凸、または下に凸の範囲内で、${x}$の値を連続的に見ていったとき、増加傾向→減少傾向（または、減少→増加）に切り替わる点の事
• 極大値
  • 極値のうち、その区間内で最大値を示すもの（＝上に凸の極値）（図．極値と変曲点　参照）
• 極小値
  • 極値のうち、その区間内で最小値を示すもの（＝下に凸の極値）（図．極値と変曲点　参照）
• 変曲点
  • グラフで見たときに、上に凸と下に凸が切り替わる点（図．極値と変曲点　参照）
• 上に凸
  • 区間内のグラフ上の２点を直線で結んだとき、その区間のグラフの値が必ず直線の上に現れるような区間（図．上に凸と下に凸の概念参照）
• 下に凸
  • 区間内のグラフ上の２点を直線で結んだとき、その区間のグラフの値が必ず直線の下に現れるような区間（図．上に凸と下に凸の概念参照）

１次導関数は原始関数の値の変化を表している。（＝傾きが切り替わる＝増加→減少、または、減少→増加＝極値）
２次導関数は傾きの変化を表している。（傾きの変化が正＝xの値が増えたときに常に今よりyの値が増える、傾きの変化が負＝xの値が増えたときに常に今よりyの値が減少）
すなわち

$ \begin{equation} \left \{ \begin{array}{l} 常にf^{\prime\prime}(x) < 0　の区間は上に凸\\ 常にf^{\prime\prime}(x) > 0　の区間は下に凸\\ \end{array} \right. \end{equation} $

ここで、極値は$f^{\prime}(x)=0$となるxの周辺で、増加→減少、または、減少→増加の値の変化がある場合のみに存在する。

• １次導関数$f^{\prime}(x)=0$となる点が２つ存在する
• ⇔　１次導関数の判別式 $D > 0$　である。

となる。

一般的な以下の係数が${a},{b},{c}$の２次関数

$ a{x}^{2}+b{x}+c = 0 $

が実数解を保つための条件は、

この２次関数の判別式　$D = {b}^{2} - 4 \cdot{a} \cdot{c}$　が

$ \begin{equation} \left \{ \begin{array}{l} D > 0　の時　実数解２つ\\ D = 0　の時　重解を持つ\\ D < 0　の時　解なし\\ \end{array} \right. \end{equation} $
であることが知られている。

$ f(x) = a{x}^{3}+b{x}^{2}+c (a > 0)
$ に関して、

１次導関数 $f^{\prime}(x) = 3a{x}^{2}+b{x} $
２次導関数 $f^{\prime\prime}(x) = 6a{x}+b{x} $

が存在するとき

$ f^{\prime}(x) = 3a{x}^{2}+b{x} = 3a(x-α)(x-β) = 0
$

すなわち$ f^{\prime}(x) = 0$　が $x = \{ \alpha, \beta \}$　の解をもち、かつ
$f^{\prime\prime}(x) = 6a{x}+b{x} = 6a(x-γ) = 0$
$f^{\prime\prime}(x) = 0$ が $x = γ $　の解をもつときに、

この３次関数は、以下の表のような増減を見せる。

方針

1. 極値を持つ条件から、１次導関数の判別式が実数解を２つ持つ条件を考える
2. 判別式に含まれるパラメータ${a}$について、$D>0$となるように${a}$の条件を考える
3. それ以外の場合について検証する（$D=0, D<0$の場合）

$ f(x) = {x}^{3}+a{x}^{2}+a{x}+5　\dots　(1) $

${x}$について微分すると

$ f^{\prime}(x) = 3{x}^{2}+2a{x}+a　\dots　(2) $

3次関数が極値を持つのは1次微分$f^{\prime}(x)=0$となる${x}$が２つ存在する時である。

（１次導関数（１次微分）$f^{\prime}(x)$は各点での$f(x)$の接線の傾きを表している。接線の傾きが0であるという事は、傾きの変化が+0-になるか、または-0+になっているので極値となる）

すなわち、$f^{\prime}(x)=0$が実数解を２つもつ時である。

判別式
$ \begin{equation} \begin{array}{l} D = {(2a)}^{2} - 4 \cdot{3} \cdot{a} = 4{a}^{2} - 12{a} = 4{a}({a} - 3) \\ \end{array} \end{equation} $

この判別式が２つの実数解をもつことが、極値を持つ条件となる。

式$(2)$について判別式を求めると

判別式
$ D = {(2a)}^{2} - 4 \cdot{3} \cdot{a} = 4{a}^{2} - 12{a} = 4{a}({a} - 3) $

$ \begin{equation} D = 4{a}({a} - 3) \left \{ \begin{array}{l} > 0　の時　実数解２つ\\ = 0　の時　重解を持つ\\ < 0　の時　解なし\\ \end{array} \right. \end{equation} $

$4{a}({a} - 3)>0$を解くと、実数解を２つ持つための$a$の範囲は
$ a < 0, a > 3
$ であることがわかる
問題の解答としてはこの範囲が答えられていればよい。

$4{a}({a} - 3)>0$のグラフを書いてみます。
網掛けされている部分が不等式を満たす範囲です。
${a}$の値で言うと、
$ a < 0, a > 3 $

$a=-1$の時

$ \begin{equation} \begin{array}{l} f(x) &= {x}^{3}+a{x}^{2}+a{x}+5 \\ &= {x}^{3}+{(-1)} \cdot {x}^{2}+{(-1)} \cdot {x}+5 \\ &= {x}^{3}- {x}^{2}-{x}+5 \\ \end{array} \end{equation} $

$D = 0, D < 0 $それぞれの場合について検討してみる。
（$D = 0$の時は、１次導関数は１つの実数解（重解）をもつ、$D < 0$の時は、実数解をもたない）

$ \begin{equation} \begin{array}{l} a=0のとき(1)式は\\ f(x) = {x}^{3}+a{x}^{2}+a{x}+5={x}^{3}+5　\dots　(1)\\ １次導関数：　f^{\prime}(x) = 3{x}^{2} \\ 　　　　　　　３次関数は１次導関数=0の点で極値を持つが、この場合\\ 　　　　　　　f^{\prime}(x) = 3{x}^{2} = 0 \\ 　　　　　　　x = 0 (重解）\\ ２次導関数：　f^{\prime\prime}(x) = 6{x} \\ ３次関数は２次導関数=0の点で変曲点を持つ\\ 　　　　　　　f^{\prime\prime}(x) = 6{x} = 0 \\ 　　　　　　　x = 0\\ \end{array} \end{equation} $

$x < 0, x > 0$の範囲($x=0$より左と、$x=0$より右）の　$f^{\prime}(x), f^{\prime\prime}(x)$　の符号を調べると

$f^{\prime}(x) = 3{x}^{2}$　は、

$ \begin{equation} \left \{ \begin{array}{l} x > 0　の範囲で　f^{\prime}(x) > 0(増加）\\ x = 0　の時　　f^{\prime}(x) = 0\\ x < 0　の範囲で　f^{\prime}(x) > 0（増加）\\ \end{array} \right. \end{equation} $

$f^{\prime\prime}(x) = 6{x}$　は、

$ \begin{equation} \left \{ \begin{array}{l} x > 0　の範囲で　f^{\prime\prime}(x) > 0（下に凸）\\ x = 0　の時　　f^{\prime\prime}(x) = 0（変曲点）\\ x < 0　の範囲で　f^{\prime\prime}(x) < 0（上に凸）\\ \end{array} \right. \end{equation} $

これらの場合は、増減表やグラフを見るとわかるとおり、$f^{\prime}(x) = 0$　の前後で $f(x)$　の変化が増加→減少、または、減少→増加と切り替わっている部分がなく、
$f^{\prime}(x) = 0$　の前後で、増加→増加になっている。このような場合は極値を持たない。（$a=3$の場合も同様）

$a$の範囲が、$0 < a < 3$となるときは、$D < 0$となり１次導関数$f^{\prime}(x) = 0$は実数解をもたない。

$ \begin{equation} \begin{array}{l} 0 < a < 3のとき(1)式は\\ f(x) = {x}^{3}+a{x}^{2}+a{x}+5={x}^{3}+5\\ \\ １次導関数：　f^{\prime}(x) = 3{x}^{2} + 2ax + a \\ 　　　　　　　f^{\prime}(x) = 0 となる 実数x は存在しない。（x軸と交わらない）\\ \\ ２次導関数：　f^{\prime\prime}(x) = 6{x} + 2a \\ ３次関数は２次導関数=0の点で変曲点を持つ\\ 　　　　　　　f^{\prime\prime}(x) = 6{x} + 2a = 0 \\ 　　　　　　　x = -{ \frac{a}{3} } , (0 < a < 3)より、xは実数　\\ \end{array} \end{equation} $

$f^{\prime}(x), f^{\prime\prime}(x)$　の符号を調べると

$f^{\prime}(x) = 3{x}^{2} + 2ax + a$　は、$0 < a < 3$の範囲では

常に　$f^{\prime}(x) > 0$ (グラフ書いてみるとわかるよ)
つまりすべての$x$の範囲で単調増加となり、極値を持たない。

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