===== 因数分解と2次関数の最大・最小 解説付き解答 =====

==== 【A】因数分解（基礎〜応用）====

(1) 目標：和が 5，積が 6 になる2数を探す → 2 と 3\\
**答**：\( x^2 + 5x + 6 = (x+2)(x+3) \)\\

(2) 公式：平方差 \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\)\\
**答**：\( x^2 - 9 = (x-3)(x+3) \)\\

(3) \(2x^2+7x+3\)：係数2のときは「積が \(2\cdot3=6\)，和が7」 → 1 と 6\\
\(2x^2+7x+3 = 2x^2+ x + 6x + 3 = (2x+1)(x+3)\)\\
**答**：\( (2x+1)(x+3) \)\\

(4) 和が −2，積が −15 → −5 と 3\\
**答**：\( x^2 - 2x - 15 = (x-5)(x+3) \)\\

(5) 判別：先頭と末尾が平方数，かつ中項が \(-2\cdot2x\cdot3\)\\
**答**：\( 4x^2 - 12x + 9 = (2x-3)^2 \)\\

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==== 【B】2次関数の最大・最小値（平方完成）====

(6) \( y=x^2-4x+3 \)\\
平方完成：\( y=(x-2)^2-1 \)（上に開く）\\
**最小値**：−1（x=2）\\
**答**：最小 −1\\
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(7) \( y=-x^2+6x-5 \)\\
平方完成：\( y=-(x-3)^2+4 \)（下に開く）\\
**最大値**：4（x=3）\\
**答**：最大 4\\
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(8) \( y=2x^2+4x+1 \)\\
\( y=2(x^2+2x)+1=2(x+1)^2-1 \)（上に開く）\\
**最小値**：−1（x=−1）\\
**答**：最小 −1\\
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(9) \( y=-3x^2+12x-5 \)\\
\( y=-3(x^2-4x)-5=-3(x-2)^2+7 \)（下に開く）\\
**最大値**：7（x=2）\\
**答**：最大 7\\
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(10) \( y=x^2-2ax+a^2+1 \)\\
\( y=(x-a)^2+1 \)（上に開く）\\
**最小値**：1（x=a）\\
**答**：最小 1\\
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==== 【C】範囲付きの最大・最小値（頂点＋両端比較）====

(11) \( y=x^2-4x+5=(x-2)^2+1 \)，範囲：\(0\le x\le5\)\\
頂点：x=2 → \(y_{\min}=1\)\\
両端：x=0→5，x=5→10\\
**最小値**：1（x=2）\\
**最大値**：10（x=5）\\
**答**：最小 1（x=2），最大 10（x=5）\\
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(12) \( y=-x^2+4x+1=-(x-2)^2+5 \)，範囲：\(0\le x\le6\)\\
頂点：x=2 → \(y_{\max}=5\)\\
両端：x=0→1，x=6→−11\\
**最大値**：5（x=2）\\
**最小値**：−11（x=6）\\
**答**：最大 5（x=2），最小 −11（x=6）\\
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(13) \( y=2x^2-8x+3=2(x-2)^2-5 \)，範囲：\(1\le x\le4\)\\
頂点：x=2 → \(y_{\min}=-5\)\\
両端：x=1→−3，x=4→3\\
**最小値**：−5（x=2）\\
**最大値**：3（x=4）\\
**答**：最小 −5（x=2），最大 3（x=4）\\
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**ポイントまとめ**\\
  * 平方完成：\( ax^2+bx+c=a\{(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2}{4a^2}\}+c \)\\
  * 上に開く（\(a>0\)）：頂点の y が最小， 下に開く（\(a<0\)）：頂点の y が最大\\
  * 範囲付き：**頂点の値**と**区間両端の値**を必ず比較\\