=== 設問１１ ===
\\

関数$ f(x) = {x}^{3}+a{x}^{2}+a{x}+5 $が極値を持つ定数$ a $の範囲を求める。\\

==== ３次関数と微分の基礎知識 ====

== 基本事項 ==
  * 極値
    * 関数の値のグラフが上に凸、または下に凸の範囲内で、${x}$の値を連続的に見ていったとき、増加傾向→減少傾向（または、減少→増加）に切り替わる点の事
  * 極大値
    * 極値のうち、その区間内で最大値を示すもの（＝上に凸の極値）（図．極値と変曲点　参照）
  * 極小値
    * 極値のうち、その区間内で最小値を示すもの（＝下に凸の極値）（図．極値と変曲点　参照）
  * 変曲点
    * グラフで見たときに、上に凸と下に凸が切り替わる点（図．極値と変曲点　参照）
  * 上に凸
    * 区間内のグラフ上の２点を直線で結んだとき、その区間のグラフの値が必ず直線の上に現れるような区間（図．上に凸と下に凸の概念参照）
  * 下に凸
    * 区間内のグラフ上の２点を直線で結んだとき、その区間のグラフの値が必ず直線の下に現れるような区間（図．上に凸と下に凸の概念参照）

<figure>
{{:game-engineer:classes:2022:game-programing-2:first-term:7:totsu.png?nolink&400|}}
<caption>
上に凸と下に凸の概念
</caption>
</figure>


<figure>
{{:game-engineer:classes:2022:game-programing-2:first-term:7:henkyokuten.png?nolink&500|}}
<caption>
極値と変曲点
</caption>
</figure>

\\
１次導関数は原始関数の値の変化を表している。（＝傾きが切り替わる＝増加→減少、または、減少→増加＝極値）\\
２次導関数は傾きの変化を表している。（傾きの変化が正＝xの値が増えたときに常に今よりyの値が増える、傾きの変化が負＝xの値が増えたときに常に今よりyの値が減少）\\
すなわち\\

\\
$
\begin{equation}
\left \{
\begin{array}{l}
常にf^{\prime\prime}(x) < 0　の区間は上に凸\\
常にf^{\prime\prime}(x) > 0　の区間は下に凸\\
\end{array}
\right.
\end{equation}
$

ここで、__<color #22b14c>極値は$f^{\prime}(x)=0$となるxの周辺で、増加→減少、または、減少→増加の値の変化がある場合のみに存在</color>__する。\\

== 一般的な３次関数が極値を持つ条件 ==

  * １次導関数$f^{\prime}(x)=0$となる点が２つ存在する
  * ⇔　１次導関数の判別式 $D > 0$　である。

となる。\\

== 参考　２次方程式が実数解をもつ条件 ==
一般的な以下の係数が${a},{b},{c}$の２次関数\\
\\
$
a{x}^{2}+b{x}+c = 0
$

\\
が実数解を保つための条件は、\\
\\
この２次関数の判別式　$D = {b}^{2} - 4 \cdot{a} \cdot{c}$　が\\

\\
$
\begin{equation}
\left \{
\begin{array}{l}
D > 0　の時　実数解２つ\\
D = 0　の時　重解を持つ\\
D < 0　の時　解なし\\
\end{array}
\right.
\end{equation}
$
\\
であることが知られている。\\

----



== ここで、一般的な３次関数 ==

$
 f(x) = a{x}^{3}+b{x}^{2}+c (a > 0)\\
$
に関して、\\

１次導関数 $f^{\prime}(x) = 3a{x}^{2}+b{x} $\\
２次導関数 $f^{\prime\prime}(x) = 6a{x}+b{x} $\\

が存在するとき\\





$
f^{\prime}(x) = 3a{x}^{2}+b{x} = 3a(x-α)(x-β) = 0 \\
$

すなわち$ f^{\prime}(x) = 0$　が $x = \{ \alpha, \beta \}$　の解をもち、かつ\\
$f^{\prime\prime}(x) = 6a{x}+b{x} = 6a(x-γ) = 0$\\
$f^{\prime\prime}(x) = 0$ が $x = γ $　の解をもつときに、\\


この３次関数は、以下の表のような増減を見せる。\\
<figure>
{{:game-engineer:classes:2022:game-programing-2:first-term:7:zougenzu.png?nolink&500|}}
<caption>
一般的な３次関数(a>0)の増減表（３次項の係数が負(a<0)の場合はいろいろ逆になるので考えてみよう）
</caption>
</figure>

<figure>
{{:game-engineer:classes:2022:game-programing-2:first-term:7:graph.png?500|}}
<caption>
一般的な３次関数(a>0)のグラフ</caption>
</figure>



----

===== 関数$ f(x) = {x}^{3}+a{x}^{2}+a{x}+5 $が極値を持つ定数$ a $の範囲を求めてみる =====

<color #22b14c>**方針**</color>
  - 極値を持つ条件から、１次導関数の判別式が実数解を２つ持つ条件を考える
  - 判別式に含まれるパラメータ${a}$について、$D>0$となるように${a}$の条件を考える
  - それ以外の場合について検証する（$D=0, D<0$の場合）

\\
=== １次導関数と判別式を求める ===

\\
$ 
f(x) = {x}^{3}+a{x}^{2}+a{x}+5　\dots　(1)
$

\\
${x}$について微分すると\\
\\
$
f^{\prime}(x) = 3{x}^{2}+2a{x}+a　\dots　(2)
$ 

\\
3次関数が極値を持つのは1次微分$f^{\prime}(x)=0$となる${x}$が２つ存在する時である。\\
\\
（１次導関数（１次微分）$f^{\prime}(x)$は各点での$f(x)$の接線の傾きを表している。接線の傾きが0であるという事は、傾きの変化が+0-になるか、または-0+になっているので極値となる）\\

すなわち、$f^{\prime}(x)=0$が実数解を２つもつ時である。\\

----

判別式\\
$
\begin{equation}
\begin{array}{l}
D =   {(2a)}^{2} - 4 \cdot{3} \cdot{a} = 4{a}^{2} - 12{a}  =  4{a}({a} - 3)  \\
\end{array}
\end{equation}
$

この判別式が２つの実数解をもつことが、極値を持つ条件となる。\\

----

==== D>0の場合 ====

\\
式$(2)$について判別式を求めると\\
 
判別式\\
$
D = {(2a)}^{2} - 4 \cdot{3} \cdot{a} = 4{a}^{2} - 12{a}  =  4{a}({a} - 3)  
$


$
\begin{equation}
D = 4{a}({a} - 3) \left \{
\begin{array}{l}
> 0　の時　実数解２つ\\
= 0　の時　重解を持つ\\
< 0　の時　解なし\\
\end{array}
\right.
\end{equation}
$

$4{a}({a} - 3)>0$を解くと、実数解を２つ持つための$a$の範囲は\\
$
a < 0, a > 3\\
$
であることがわかる\\
**<color #ed1c24>問題の解答としてはこの範囲が答えられていればよい。
</color>**
== 検証 ==

$4{a}({a} - 3)>0$のグラフを書いてみます。\\
網掛けされている部分が不等式を満たす範囲です。\\
${a}$の値で言うと、\\
$
a < 0, a > 3
$
<figure>
{{:game-engineer:classes:2022:game-programing-2:first-term:7:morethanzero.png?nolink&400|}}
<caption>
$4{a}({a} - 3)>0$のグラフ（横軸${a}$、縦軸$4{a}^{2}-12{a}$)\\
</caption>
</figure>
\\

== $ D > 0 $ を満たす $a$ の例：$a = -1$　の時 ==

$a=-1$の時\\

$
\begin{equation}
\begin{array}{l}
f(x) &= {x}^{3}+a{x}^{2}+a{x}+5 \\
     &= {x}^{3}+{(-1)} \cdot {x}^{2}+{(-1)} \cdot {x}+5 \\
     &= {x}^{3}- {x}^{2}-{x}+5 \\
\end{array}
\end{equation}
$

\\
<figure>
{{:game-engineer:classes:2022:game-programing-2:first-term:7:kyokuchi.png?nolink&400|}}
<caption>
$ f(x) = {x}^{3}-{x}^{2}-{x}+5 $ のグラフ
</caption>
</figure>


----

=== その他の場合 ===

$D = 0, D < 0 $それぞれの場合について検討してみる。\\
（$D = 0$の時は、１次導関数は１つの実数解（重解）をもつ、$D < 0$の時は、実数解をもたない）

==== $D=0$の時（$a=0, 3$） ====

== $a=0$の時 ==
$
\begin{equation}
\begin{array}{l}
a=0のとき(1)式は\\
f(x) = {x}^{3}+a{x}^{2}+a{x}+5={x}^{3}+5　\dots　(1)\\
１次導関数：　f^{\prime}(x) = 3{x}^{2} \\
　　　　　　　３次関数は１次導関数=0の点で極値を持つが、この場合\\
　　　　　　　f^{\prime}(x) = 3{x}^{2} = 0 \\
　　　　　　　x = 0 (重解）\\
２次導関数：　f^{\prime\prime}(x) = 6{x} \\
             ３次関数は２次導関数=0の点で変曲点を持つ\\
　　　　　　　f^{\prime\prime}(x) = 6{x} = 0 \\
　　　　　　　x = 0\\

\end{array}
\end{equation}
$

$x < 0, x > 0$の範囲($x=0$より左と、$x=0$より右）の　$f^{\prime}(x), f^{\prime\prime}(x)$　の符号を調べると\\

\\
$f^{\prime}(x) = 3{x}^{2}$　は、\\

\\
$
\begin{equation}
\left \{
\begin{array}{l}
x > 0　の範囲で　f^{\prime}(x) > 0(増加）\\
x = 0　の時　　f^{\prime}(x) = 0\\
x < 0　の範囲で　f^{\prime}(x) > 0（増加）\\
\end{array}
\right.
\end{equation}
$

\\
$f^{\prime\prime}(x) = 6{x}$　は、\\

\\
$
\begin{equation}
\left \{
\begin{array}{l}
x > 0　の範囲で　f^{\prime\prime}(x) > 0（下に凸）\\
x = 0　の時　　f^{\prime\prime}(x) = 0（変曲点）\\
x < 0　の範囲で　f^{\prime\prime}(x) < 0（上に凸）\\
\end{array}
\right.
\end{equation}
$

\\
<figure>
{{:game-engineer:classes:2022:game-programing-2:first-term:7:kyokuchinashizougen.png?nolink&300|}}
<caption>
D=0となる場合の増減表
</caption>
</figure>

\\
<figure>
{{:game-engineer:classes:2022:game-programing-2:first-term:7:dequalzero.png?nolink&400|}}
<caption>
D=0となる場合（$y=x^{3}+5$）のグラフ
</caption>
</figure>

\\
これらの場合は、増減表やグラフを見るとわかるとおり、$f^{\prime}(x) = 0$　の前後で $f(x)$　の変化が増加→減少、または、減少→増加と切り替わっている部分がなく、\\
$f^{\prime}(x) = 0$　の前後で、増加→増加になっている。このような場合は極値を持たない。（$a=3$の場合も同様）\\

\\
==== $D < 0$の時（$0 < a < 3$） ====

$a$の範囲が、$0 < a < 3$となるときは、$D < 0$となり１次導関数$f^{\prime}(x) = 0$は実数解をもたない。\\

$
\begin{equation}
\begin{array}{l}
0 < a < 3のとき(1)式は\\
f(x) = {x}^{3}+a{x}^{2}+a{x}+5={x}^{3}+5\\
\\
１次導関数：　f^{\prime}(x) = 3{x}^{2} + 2ax + a \\
　　　　　　　f^{\prime}(x) = 0 となる 実数x は存在しない。（x軸と交わらない）\\
\\
２次導関数：　f^{\prime\prime}(x) = 6{x} + 2a \\
             ３次関数は２次導関数=0の点で変曲点を持つ\\
　　　　　　　f^{\prime\prime}(x) = 6{x} + 2a = 0 \\
　　　　　　　x = -{ \frac{a}{3} } , (0 < a < 3)より、xは実数　\\
\end{array}
\end{equation}
$

\\
$f^{\prime}(x), f^{\prime\prime}(x)$　の符号を調べると\\

\\
$f^{\prime}(x) =  3{x}^{2} + 2ax + a$　は、$0 < a < 3$の範囲では\\
\\
常に　$f^{\prime}(x) > 0$ (グラフ書いてみるとわかるよ)\\
つまりすべての$x$の範囲で単調増加となり、極値を持たない。\\

----

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